FUNCIONES

RESEÑA HISTORICA

 

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII.¹ René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.^{2 3 4}
Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.
La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.
Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass,partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado.Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos.⁵ También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.




























PAR ORDENADO

es un conjunto de dos elementos A y B que tiene un orden al elemento a se lo llama primera componente y al elemento b se lo llama segunda componente .se lo representa simbólicamente (A, B)
ternaordenado (A,B,C).

PRODUCTO CARTESIANO
sea dos conjuntos A y B no vacíos denominaremos producto cartesiano entre A y B al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda pertenece al conjunto B simbólicamente se lo representa AxB

EJEMPLO

A={1,2,3}
B=¨{n,v,a}
AxB={(1,n),(1,v),(1,a),(2,n)(2,v),(2,a),(3,n),(3,v),(3,a)}


RELACIONES BINARIAS 

una relación establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y  B. generalmente al conjunto A se lo llama conjunto de partida y al conjunto B ,de llegada simbólicamente se lo representa así R⊆AXB






































































GRÁFICAS DE RELACIONES R EN R

 

 

 FUNCIONES DE VARIABLE REAL 

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN  

 una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

sea f una función de variable  real f: x->y el conjunto x para el cual se encuentra definida ,constituye el dominio de la función dom f .

EJEMPLO:

f(x)= x² - 5x + 6             D=R

 EJEMPLO:

 

 

EJEMPLO:

 

 RANGO DE UNA FUNCIÓN

 sea f función de variable real f: x->y , el conjunto de todas las imagenes de los elementos del dominio ,constituye el rango de la función .se representa simbólicamente Rg f .

PROCEDIMIENTO:

1.-despejar x

2.-el rango sera el conjunto de valores que tome la  variable y.
EJEMPLO:

TIPOS DE FUNCIONES 

Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B": 

"Inyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").
 "Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). "Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos. 

DEFINICIONES FORMALES

• Inyectivo

 Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. 

Ejemplo: f(x) = x² del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

• f(2) = 4 y
• f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

• Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

 Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un xen A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. 

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función. 

• Biyectiva

 Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo:La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. 
 (Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo 

• f(2)=4 y
• f(-2)=4)

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

FUNCION LINEAL

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma:

La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.

La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)

Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

• 1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.
• 2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
• 3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.
• 4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Ejemplo:

Graficar  la función dada por  f(x) = 2x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a  x  y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

                          Si  x = 0, se tiene que  f (0) = 2(0) – 1 = - 1

                          Si  x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos  son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica  correspondiente.

FUNCION POLINOMICA 

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).

FUNCION CUADARTICA 

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = x2  representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

FUNCION RACIONAL

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función  de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma  f(x) = xr, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y  h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.

     La función es: f (x) = 4x.

b) Un número 2 unidades mayor.

     La función es: f (x) = x + 2.

c) Su mitad menos 1.

     La función es: f (x) = x/2 - 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.

     La función es: f (x) = (x - 1)2

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:

1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas  y c es una constante de proporcionalidad.

Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.

2) El área  A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

3) Dada la función  f(x) = 5x2 + 2

Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función  f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para  x = 2

                                            F (2) = 5(2)2  + 2

                                            F (2) = 22

Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que  f (2) = 22.

Ejemplo:

  El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.

• a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.
• b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos:

a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.

b) x = 50  entonces

 F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25

Hay que pagar 25 dólares.

c) f (x) = 53  entonces

15 + 0,2x = 53 entonces x = 190

Se han recorrido 190 km.

Álgebra de funciones

Suma, resta, multiplicación y división de funciones

Sean f y g dos funciones cualesquiera.

Ejemplos:

Suma de funciones

Sean las funciones

FUNCIÓN MONÓTONA

Se dice que F es una función monótona en un intervalo I , si y solo si F es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo.   

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

 Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

 Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

FUNCIONES CUADRÁTICAS 

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

1.3 Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

 FUNCIONES ALGEBRAICAS A TROZOS 

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

. Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

 Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

 Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

TÉCNICAS DE GRAFICACION

PROCESO DE GRAFICACION DE UNA FUNCIÓN

Ejemplos

Gráfica de la función x³-9x.

• La gráfica de la función

es {(1,a), (2,b), (3,c)}.

• La gráfica del polinomio cúbico en la recta real

es {(x,x³-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

TRAZADO DE GRAFICAS ESPECIALES 

para los cortes Y se utiliza  ejemplos

(A>o)^(b>0)

b) ; (a>o)^(b>0)

OPERACIONES CON FUNCIONES




APLICACIONES
 1. Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los días cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x – 15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas.

Realiza una tabla para la anterior función y grafícala.

¿Cuantos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas?

Solución:

Primero realizamos la tabla.

x (tiemp en horas)	y (Kg algodón)
0.5	0
1	15
1.5	30
2	45

 y luego graficamos